Los Teoremas matemáticos

             

Teoremas Matemáticos.

Un teorema es una fórmula bien formada que puede ser demostrada dentro de un sistema formal. Demostrar teoremas es un asunto central en la lógica y la matemática.
Un teorema general mente posee un número de premisas que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano. Luego existe una conclusión, una afirmación lógica o matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones dadas. El contenido informativo del teorema es la relación que existe entre las hipótesis y la tesis o conclusión.

                                             Teoremas:

• Teorema de pitágoras: El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa ("el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo") es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Cuando se va a hallar la hipotenusa se suma. Ejemplo: h^2= a^2 + b^2Cuando se va a hallar un cateto se resta. Ejemplo: a^2= h^2 - b^2
De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:

                    

• Teorema de thales: Existen dos teoremas en relación a la geometría clásica que reciben el nombre de teorema de Tales. 

                                                      Teorema primero

Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si. El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que:

Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los ladosdel triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC. 

                                                                                     Lo que se traduce en la fórmula: 

Teorema segundo

El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:

Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el ángulo ABC, es recto.

Este teorema (véase figuras  1 y 2), es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de losángulos inscritos dentro de una circunferencia.

Figura 1.

                                                           

figura 2.

• Teorema de Euclides: 

1. Teorema de Euclides referido a un cateto: “En un triángulo rectángulo la medida de cada cateto es media proporcional geométrica entre las medidas de la hipotenusa y su proyección sobre ella.”

Si se tiene un triángulo ABC cualquiera, rectángulo  en C,  y se proyectan los catetos sobre  la hipotenusa, se tiene la siguiente figura: 

                                                                                      DB = p (proyección del cateto a (CB) sobre la hipotenusa)

AD = q (proyección del cateto b (AC) sobre la hipotenusa)

c = p + q

el   ΔACB ~  ΔCDB (son semejantes): 

Luego:

que es lo mismo que:                            

De forma análoga se tiene que ΔACB  ~  ΔADC: 

                                                    Entonces:

  Es lo mismo que:

“En un triangulo rectángulo, el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del mismo cateto sobre la hipotenusa”.

Por lo tanto,

                 2.  Teorema de Euclides relativo a la altura: “En un triángulo rectángulo la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional geométrica entre los segmentos que dicha altura determina en ella.”

Se sabe que ΔADC ~ ΔCDB (semejantes);                                       

por lo tanto, sus lados homólogos 

(correspondientes) son proporcionales.

Sea hc  (CD) la altura de la

 hipotenusa (AB = c).

Entonces:    

Reemplazamos:

        llegamos a: 

• “En un triangulo rectángulo, el cuadrado de la altura de la hipotenusa (hc) es equivalente al producto de las proyecciones de los catetos en la hipotenusa”.

  Por lo tanto,  si   h² = p • q    
  entonces